Arta infinitului: istorie, matematica, imposibil


Infinitul este. Posibil
Infinitul a fost intotdeauna tratat cu un amestec de fascinatie si smerenie. Unii l-au asociat ideii de divinitate, in timp ce altii il privesc ca pe un concept fara valoare practica in lumea reala. Acestia din urma isi argumenteaza pozitia afirmand ca pana si matematica, aparent dependenta de infinit, poate fi facuta recurgand la cantitati inepuizabile, dar finite. Vechii greci erau oarecum incomodati de concept, dat fiind termenul pe care i l-au atribuit, „apeiron”, o notiune cu aceleasi conotatii negative pe care civilizatia modenra le intelege prin cuvantul „haos”. „Apeiron”-ul era lipsit de control, salbatic si periculos.

Aristotel (384-322 i.Hr.), unul dintre cei mai mari filosofi ai omenirii, discipolul lui Platon si invatatorul lui Alexandru cel Mare
Ca atare, Aristotel a „pus la punct” atat de ferm infinitul incat cu greu a mai fost luat in considerare de cineva pana in secolul al XVII-lea. Abordarea lui s-a dovedit extrem de pragmatica. Aristotel a decis ca infinitul trebuie sa existe, doarece timpul pare sa nu aiba inceput, nici sfarsit. De asemenea, nu era posibil ca cineva sa pretinda ca o numaratoare ar fi putut fi terminata vreodata. Daca ar fi existat un anume cel mai mare numar – „maximum”, ce era in neregula cu a spune „maximum + 1” sau „maximum + n”? Pe de alta parte, infinitul nu putea exista in lumea reala. Daca ar fi exista, spre exemplu, un corp fizic infinit, spune Aristotel, acesta ar fi fara frontiere – totusi, prin definitie, pentru a fi corp un obiect trebuie sa aiba margini.

Premisa, inteligenta de altfel, a lui Aristotel era, deci, aceea ca infinitul exista si in acelasi timp nu exista. In loc sa fie o proprietate adevarata a ceva real, argumenta el, infinitul exista doar ca posibilitate. El poate exista in principiu, dar nu s-a intamplat niciodata practic. Iar un exemplu foarte plastic dat de marele filosof suna cam asa: „Daca un om dintr-o alta parte a lumii ar veni acum si ne-ar cere sa ii aratam Jocurile Olimpice de care suntem atat de mandri, nu am putea sa o facem. In acest moment, ele nu exista in realitate, dar exista ca posibilitate. La fel, si infinitul se afla intr-o stare de eventualitate”. Toata lumea s-a declarat multumita de aceasta „demonstratie” timp de aproape 2.000 de ani din acel moment, pana cand a intrat in scena Galileo Galilei.

Roata imperfecta a lui Galileo
Dupa arestul la domiciliu, din 1634, al lui Galielo, ca urmare a procesului care i s-a intentat pentru eretica sa teorie heliocentrica, omul de stiinta numai inactiv nu a devenit. In acea perioada a scris cartea considerata a fi lucrarea de capatai a activitatii sale stiintifice, denumita „Discursuri si demonstratii matematice privind doua Stiinte noi”, echivalenta ca valoare cu „Principia” lui Newton. Cartea a fost scrisa sub forma unei conversatii intre un numar de personaje, abordand in special chestiuni importante din punct de vedere stiintific. In insiruirea narativa, dupa ce au dezbatut si polemizat despre ce anume tine materia unita, personajele au o abatere, aparent mai mult de amorul artei, despre natura infinitului.Galileo a adus in aceasta privinta o serie inedita de abordari, dar doua dintre ele merita notate in special. Prima implica miscarea unei perechi de roti.Galileo incepe cu roti imperfecte, cu cateva laturi, ca de exemplu de forma unor hexagoane. Rotile sunt tridimensionale – sa ni le imaginam ca si cum ar fi facute din marmura. Hezagonul mai mic este fixat in cel mare, si fiecare se misca pe propria sa ruta orizontala. Rotim agregatul intr-o parte astfel incat sa se miste pe urmatoarea latura. Miscandu-se, roata mare pivoteaza pe unul din colturi si avanseaza pe traseu cu lungimea unei laturi. Dar ce s-a intamplat cu roata mai mica?
Nu doar roata mare s-a miscat pe acea distanta, ci si roata mica; trebuie sa fie asa, deoarece sunt fixate impreuna. Adica ambele roti trebuie sa fi parcurs fix aceeasi distanta intre pozitia lor anterioara si cea de acum. Aterizand pe propria latura urmatoare, roata mica a executat 1/6 dintr-o rotatie completa si pare sa se fi deplasat pe traseul propriu cat lungimea laturii sale; dar lucrurile nu s-au intamplat asa, pentru ca ea a fost miscata pe distanta laturii rotii mari. Asadar, pentru a executa miscarea in surplus si a respecta legile fizicii, roata mica a fost complet ridicata de la traseu si asezata pe latura sa urmatoare. Totul pentru ca, distanta intre pozitia sa initiala si cea actuala trebuie sa fie egala cu dimensiunea laturii rotii mari.
Aici intervine artificiul istet. Galileo si-a imaginat un numar sporit de laturi. Cu cat mai multe laturi, cu atat mai multe seturi de mici miscari pe traseu si mici salturi ale rotii inferioare de pe ruta proprie pe masura ce se invarte. In final, sa ne imaginam ca ducem numarul de laturi la infinit. Sfarsim prin a avea roti circulare.

Infinitul meu e mai mare decat infinitul tau
Invartim din nou cele doua roti, conectate, pe respectivele trasee. Inca o data, ambele parcurg aceeasi distanta, sa spunem, un sfert din circumferinta rotii mari. Sau asa ar trebui, pentru ca acum, ceva straniu s-a intamplat. Marginea rotii mari s-a rotit cu un sfert din circumferinta ei pe traseul propriu. Marginea rotii mai mici s-a invartit doar cat un sfert din propria sa circumferinta, mai mica. Totusi ea trebuie sa se fi deplasat pe aceeasi distanta ca roata mare, insa fara a mai parasi ruta. Nu exista salturi, sau cel putin asa pare.

Ceea ce si-a imaginat Galileo ca se intampla in acest caz este ca pe masura ce roata mai mica se invarte, un numar infinit de mici hop-uri infinitezimale se intampla pentru a acoperi diferenta dintre circumferinta rotii mici si distanta pe care se deplaseaza. Infinitul a intrat in scena printr-un dispozitiv fizic capabil sa faca sa se intample ceva aparent imposibil. Concluziile trase de personajele lui Galileo, Simplicio si Salviati, au fost ca exista un numar infinit de puncte pe o roata circulara si un numar infinit de puncte pe cealalta. Dar cumva, desi fiecare are o infinitate de puncte, una a parcurs o distanta mai mare decat cealalta. O infinitate era astfel la fel ca cealalta si in acelasi timp mai mare.
Suna confuz, pentru ca este o problema sa gestionam infinitul cu mintile noastre finite, dupa cum Salviati recunoaste in carte. Al doilea model propus de el este cel al patratului; nu forma geometrica, ci patratul unui numar, adica orice numar inmultit cu el insusi. Asadar, isi imagineaza numerele intregi, inmultinu-l pe fiecare cu sine. Pentru absolut orice numar intreg exista un patrat. Avem un numar infinit de numere intregi si, deci, un numar infinit de patrate cu o corespondenta de unu la unu. Dar iata prinsoarea. Exista o multime de numere care nu reprezinta patratul perfect pentru nimic. Asadar, desi exista un patrat pentru absolut orice numar intreg – un set infinit – exista chiar mai multe numere individuale decat patrate perfecte. Din nou, infinituri diferite. Galileo a descoperit ceva foarte special despre infinit. Regulile normale ale aritmeticii nu i se aplica. Pot exista, efectiv, infinituri „mai mici” si infinituri „mai mari”, unul substituit celuilalt, care este de aceleasi dimensiuni cu el, infinit. Adevaratele implicatii ale cugetarilor lui Galileo au avut nevoie de peste 300 de ani pentru a iesi la lumina, dar chiar si asa, el a sadit samanta a tot ceea ce avea sa urmeze in legatura cu infinitul.

Fibbonacci si proportia de aur
O pictura, o sculpltura, o lucrare arhitecturala sunt toate organizate prin masuri si rapoarte gratios echilibrate. Infinitul insusi, in matematica, se afla ascuns, tocmai in aceasta arta a proportiilor. Care dreptunghi are cel mai placut raport intre lungime si latime, spre exemplu? Oricine poate face un experiment in aceasta directie si poate incerca, singur, sau acompaniat, sa aleaga raportul pe care il gaseste cel mai potrivit. Este raportul dintre latime si lungime apropiat de 2×3, 3×5, 5×8 – dimensiunile standard ale carnetelelor si ale fotografiilor? Sau apropiat de o alta pereche de numere adiacente din secventa: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…? Leonardo don Pisa, poreclit Fibonacci, a fost un matematician italian de la inceputul secolului al XIII-lea, care a aratat felul in care se formeaza aceasta eleganta secventa de numere, conectata cu intelegerea noastra fata de ce anume inseamna proportii multumitoare. Secretul formarii celebrului sir de numere este formarea fiecarui numar prin insumarea celor doua precedente.
Dar ce legatura exista intre aceasta insiruire si proprotii potrivite? Marele Piero della Francesca a scris o carte „Despre Proportia Divina”, iar in picturile lui a incadrat partile si intregul in chenare cu ratiile lui Fibonacci. Leonardo da Vinci a observat ca crengile copacilor, escaladand spiralat trunchiul, se distanteaza intre ele intocmai conform acelorasi proprotii. Virtual, toti artistii lucreaza pe baza acestor principii, fie ca isi dau sau nu seama. Conurile de brad si cochiliile de melci, coarnele cerbilor, liniile trasate printre sirurile de seminte ale florii soarelui – iar si iar aceste ratii Fibonacii apar in natura. Dar numai in matematica, arta infinitului, aceste ratii sunt trecute din vizibil in extrema invizibila (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8 etc) spre definirea unei anumite valori, denumita Calea sau Ratia de Aur (aproximativ 1,618), care descrie proportia ideala pe care proportiile finite din arta si natura doar o aproximeaza.

A n-a dimensiune?
Dar este acesta idealul divin sau diabolic? Pentagrama, steaua cu cinci colturi, semnul Artelor Negre si capcana pentru Mefistofel, este realizata din segmente care respecta intocmai aceasta ratie de aur. Oare stau ingerii luminii sau cei ai intunericului in spatele matematicianului aflat in cautarea infinitului? Arta si matematica sunt ambele dependente de echilibru, iar echilibrul matematicii este stocat in ecuatii.Ecuatiile sunt Cubismul matematicii. Sa luam ca exemplu cele cinci solide platonice: tetraedrul, cubul, octoedrul, dodecaedrul si icosaedrul), pe care Kepler le-a vazut ca emblematice pentru Univers. Le putem gasi peste tot in natura si in arta, sunt ceea ce unii denumesc „caramizile spatiului”. Cat sunt de diferite una de cealalta, totusi, o singura ecuatie le aduce la un numitor comun. Ajunge sa numaram colturile oricarei forme si sa notam rezultatul cu C. Adaugam numarul laturilor si numim rezultatul L, precum si numarul fatetelor, F. Ce aflam? Pentru tetraedru: C=4, L=6, F=4. Pentru cub: C=8, L=12, F=6. Putine lucruri in comun. Si totusi, vom constata, iar acest lucru se aplica si in cazul celor 3 poliedre ramase precum si al tuturor de peste ele, ca in fiecare caz C-L+F=2. Este o forma de infinit, una care se afla in spatele tuturor artelor noastre, chiar si a muzicii, ale carei armonii sunt expresia auditiva a proportionalitatii.
ubul despre care tocmai am vorbit are 8 colturi, 12 laturi si 6 fatete. Ce putem spune insa despre cuburile in patru dimensiuni? Ce putem spune despre patru dimensiuni pur si simplu? Uimitor, dar destule. Nu putem privi un cub cvadridimensional dar ne putem gandi la el, spun cercetatorii. Are 16 colturi, 32 de laturi si 24 de fete. Sa continuam? Un cub in sapte dimensiuni are 672 de fete. Unul decadimensional are 5.120 de laturi. Si se poate continua, deoarece adevarata natura a matematicii este le limita gandirii noastre. De aceea, infinitul nu ar trebui privit ca o enigma matematica ce trebuie dezlegata, ci ca o cheie a vietii insasi, pe care, intelegand-o, ne vom elibera de toate constrangerile mintilor noastre limitate si vom putea avea si intelege Universul. Pentru ca infinitul nu este doar in spatiul cosmic ale carui frontiere nu le percepem, ci chiar si in ultimul fir de nisip de sub talpile noastre.

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s